Elemente de teoria semigrupurilor-aplicatii pentru licee

Descriere

Elaborarea lucrarii de fata a avut ca scop realizarea a doua obiective: • prezentarea unor notiuni si concepte noi sau destul de putin tratate in literatura matematica romaneasca, conditie necesara pentru orice lucrare care "se respecta" si care, in acelasi timp, isi respecta eventualii cititori; • tratarea notiunilor la un nivel elementar, ceea ce, coroborat cu faptul ca materialul contine o multitudine de exemple si aplicatii, face ca aceasta carte sa se adreseze unei categorii largi de cititori, incepand cu elevii si studentii (pentru pregatirea examenelor si concursurilor) si terminand cu profesorii din invatamantul preuniversitar (pentru pregatirea curenta, precum si a examenelor de definitivat si grade didactice). Adaugam aici si faptul ca, datorita modului gradat in care a fost elaborata lucrarea, ea poate fi parcursa cu usurinta si fara a necesita cunostinte suplimentare din domeniul structurilor algebrice. In opinia autorilor, realizarea acestor doua obiective a condus la o lucrare de informare stiintifica (care completeaza un anumit gol din teoria structurilor algebrice), dar si cu un profund caracter formativ, ea fiind un instrument de lucru eficient pentru elevi si profesori. Semigrupul - o multime nevida inzestrata cu o lege de compozitie asociativa - este numai aparent simplu, el intervenind decisiv in tratarea multor concepte din algebra, analiza functionala, calculul probabilitatilor, informatica; "forta" acestei notiuni rezulta din proprietatea de asociativitate a operatiei respective. Din acest motiv am dorit sa "reabilitam" notiunea de semigrup, incadrata, evident, in contextul general al structurilor algebrice. Lucrarea este structurata pe sase capitole. Capitolul I (Notiuni preliminare) trece in revista principalele notiuni ale algebrei elementare – multimi, functii, numere cardinale-, iar capitolul II (Legi de compozitie) prezinta rezultatele de baza referitoare atat la legile de compozitie (binare), cat si la legile de compozitie nebinare, deduse dintr-o lege de copozitie binara. Capitolul III (Semigrupuri) prezinta o serie de concepte si rezultate remarcabile ale teoriei semigrupurilor - semigrupuri cu simplificare, semigrupul generat de o multime, idealele unui semigrup, elemente importante intr-un semigrup, structura semigrupurilor ciclice, congruente intr-un semigrup, semigrup factor, semigrupul relatiilor binare ale unei multimi -, cu precizarea ca aceste concepte au importanta numai in cadrul teoriei semigrupurilor, in cazul grupurilor (asa cum se arata in lucrare) ele devenind banale. Din capitolul IV (Grupuri), care face o prezentare generala a grupurilor, mentionam rezultatele remarcabile in legatura cu notiunea de ordin al unui element si aplicatiile acestuia, cu o demonstratie simpla si originala a teoremei lui Lagrange, precum si cele referitoare la grupurile de permutari si descompunerea unei permutari in cicli independenti. Capitolul V, care reprezinta, de fapt, punctul forte si noutatea lucrarii, contine rezultate privind "scufundarea" unui semigrup intr-un grup (teorema lui Ore), cu precizarea ca, pentru o mai buna intelegere, s-au tratat separat cazurile comutativ si cel necomutativ. Cazul comutativ a fost tratat separat deoarece reconstituie intr-o forma mai generala constructia multimii numerelor intregi pornind de la multimea numerelor naturale. In capitolul VI se prezinta rezolvarea ecuatiei in monoizi (semigrupuri cu unitate ) cu simplificarea (la stanga), folosind teoria expusa in capitolul III, o serie de aplicatii si solutiile unor probleme care au fost propuse la diferite faze ale olimpiadelor scolare, atat in tara cat si in strainatate. De asemenea, am facut studiul compatibilitatii ecuatiei in grupul Sn si am determinat numarul solutiilor ecuatiei in acest grup.